[이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬] 7-1강(다익스트라 최단 경로 알고리즘, 우선순위 큐)

노드는 국가, 마을, 도시 등으로 정해질 수 있다.

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다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라가 제안한 알고리즘

최단 경로 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍의 원리가 적용된 문제다.

다양한 다익스트라 알고리즘이 많지만 대표적으로 최단 경로 문제를 설명한다.

3번을 통해 그리디 알고리즘으로 분류된다.

A로 바로 가면 8

방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단거리 비용이 작은 것을 선택해야 하는데 2번과 5번이 비용이 같다.

어느 것을 선택해도 상관없지만 보통 숫자가 작은 것을 선택한다. 

 

앞의 노드 값이 바뀌지 않기 때문에 마지막은 처리하지 않아도 된다. 

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해

매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인 탐색(순차 탐색)한다.

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

C++, JAVA 코드는 이코테 깃허브에 있다.

 

V=노드의 개수

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우선순위 큐

최소 힙은 가장 낮은 값부터 꺼내고 최대 힙은 가장 높은 값부터 꺼낸다.

힙은 트리 구조에 있어서 O(logN)만큼의 수행시간을 보장한다.

# 힙 라이브러리 사용 예제 : 

# 최소 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(heap sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)) :
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)
# [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

#-----------------------------------------------------------------

# 최대 힙

# 내림차순 힙 정렬(heap sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)) :
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)
# [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해  힙 자료구조를 이용한다.

다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.

- 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.

- 매 상황에서 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노트를 선택해야하므로 최소 힙을 사용한다.

 

 

노드 1은 아직 방문처리하지 않았기 때문에 큐에서 꺼낸 원소를 확인해서 방문처리를 수행할 수 있다.

갱신된 정보만 우선순위 큐에 담아준다.

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

###########################우선순위 큐로 개선된 부분 ############################
def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

C++, JAVA 코드는 이코테 깃허브에 있다.